Onglet « Simulation » (niveau Intermédiaire) : montrer comment une pièce se déforme et où elle risque de casser, sous une charge simple. Le résultat est indicatif et pédagogique : une pièce imprimée dépend aussi du remplissage et du sens des couches.

Utilisation

1. Choisir la pièce étudiée (panneau de gauche) et son matériau (panneau de droite ; par défaut, la matière de la pièce choisie dans ses Propriétés).
2. Faces fixées : cliquer les faces où la pièce est tenue (vissée, collée, posée). Un second clic retire une face ; Échap termine.
3. Charge : cliquer les faces où l’on appuie, puis indiquer une masse posée (kg) ou une force (N) et son sens : « appuie sur la face » (vers l’intérieur de la pièce), « tire sur la face », un axe du repère, ou une direction au choix (trois composantes X, Y, Z, par exemple 0 ; 1 ; −1 pour 45° vers +Y et vers le bas). Le poids d’une masse tire vers le bas (−Z) par défaut ; son sens se change aussi, pour une pièce qui ne sera pas utilisée dans la position où elle est dessinée. La flèche de la vue montre le sens choisi. Une face est fixée ou chargée, pas les deux.
4. Calculer : la pièce apparaît déformée (exagérée, pour que la déformation se voie) et colorée du bleu (peu sollicitée) au rouge (très sollicitée), en contrainte ou en déplacement. Le verdict compare la contrainte maximale à la résistance du matériau : « La pièce tient » (marge ≥ 2), « C’est juste » (1 à 2), « Risque de casser » (< 1). Animer fait aller et venir la pièce entre sa forme de départ et la déformée (aller-retour de 1,6 s), pour voir dans quel sens elle plie ; l’animation est coupée si le système demande moins d’animations (réglage d’accessibilité).

Quand le plus grand déplacement dépasse 5 % de la taille de la pièce, un avertissement rappelle que le calcul suppose de petites déformations : la forme réelle sera différente (c’est le cas courant d’une pièce souple en TPU, qui plie beaucoup sans casser).

Assemblage collé (niveau Expert) : dans la liste des pièces, « Assemblage (pièces collées) » étudie toutes les pièces insérées, à leur place et dans le même matériau. Les faces fixées et chargées se cliquent sur n’importe quelle pièce (elles sont repérées par pièce insérée). Chaque pièce est découpée en cubes sur une même grille : deux pièces qui se touchent partagent des nœuds, elles sont donc collées (ni jeu, ni glissement, pas de contact). La matière qui ne touche aucune face fixée, même par l’intermédiaire d’une autre pièce, flotterait : elle est laissée de côté avec un avertissement, et si la charge appuie dessus le calcul est refusé avec une explication.

La précision (Rapide, Normale, Fine) règle le nombre de cubes : environ 3 000, 8 000 ou 20 000. Les réglages sont enregistrés dans le projet (champ simulation du format natif, annulables) ; le résultat ne l’est pas : il se recalcule. Si les réglages ou la pièce changent, le résultat est signalé comme périmé.

Matériau	E (MPa)	ν	Résistance retenue (MPa)
PLA imprimé	3 000	0,36	30
PETG imprimé	2 000	0,38	30
ABS imprimé	1 900	0,35	25
TPU imprimé (souple)	30	0,45	20
Contreplaqué	6 000	0,3	25
Acrylique (PMMA)	3 000	0,37	35
Aluminium	69 000	0,33	150
Acier	200 000	0,3	250

Les résistances des plastiques imprimés sont prudentes (couches, remplissage). L’acrylique est cassant (il casse sans plier) et les bords découpés au laser ont des micro-fissures : sa résistance retenue est bien inférieure aux 60 à 70 MPa des fiches techniques.

Méthode

• Cubes (voxels) : la pièce est découpée en cubes réguliers d’arête h (src/sim/voxelize.ts) ; un cube est plein si son centre est dans la pièce (rayons parallèles à x et parité des traversées du maillage fermé). Robuste sur toute forme, y compris un STL importé. La taille h vise le nombre de cubes de la précision choisie, et la plus petite dimension de la pièce (souvent son épaisseur) compte un nombre entier de cubes : sinon la grille l’épaissirait d’un demi-cube et la pièce paraîtrait trop raide (gridFor, src/sim/study.ts).
• Éléments finis (src/sim/fea.ts) : élasticité linéaire, petits déplacements ; chaque cube est un hexaèdre à 8 nœuds avec modes incompatibles (Wilson-Taylor) condensés, sans lesquels ces cubes seraient environ 30 % trop raides en flexion. Tous les cubes étant identiques, la raideur élémentaire (24 × 24) est calculée une fois.
• Résolution sans matrice globale ; contraintes de von Mises au centre de chaque cube. Au-delà de 1 000 cubes, le gradient conjugué est préconditionné par multigrille (src/sim/multigrid.ts) : grilles 2h, 4h… (un cube grossier regroupe 2 × 2 × 2 cubes, raideur proportionnelle à sa part de matière), interpolation trilinéaire, lissage de Jacobi amorti (4 / 3λmax, λmax estimée par la méthode de la puissance), grille la plus grossière (~400 cubes) résolue directement (Cholesky), cycle en V dans un gradient conjugué flexible. Le résultat est identique (test : écart < 10⁻⁶ de la flèche) ; seul le nombre d’itérations baisse. Essai écarté : ne pas grossir l’épaisseur d’une plaque (pavés 2h × 2h × h) rend le lissage inefficace (six fois plus d’itérations).
• Conditions aux limites : nœuds de surface (touchant un cube vide) à moins de 0,75 h d’une face cliquée : bloqués (encastrement) ou chargés (force totale répartie également).
• Affichage : le maillage de la pièce est subdivisé (arêtes ≤ 1,5 h, découpe conforme, sans fente) ; chaque sommet reçoit le déplacement interpolé dans le cube plein le plus proche et la contrainte moyenne des cubes voisins. L’exagération porte le plus grand déplacement à environ 8 % de la taille de la pièce.
• Le calcul tourne dans un worker dédié (src/workers/sim.worker.ts) : l’interface et le worker géométrique restent disponibles ; « Annuler » arrête le worker.

Validation

tests/unit/fea.test.ts : poutre 100 × 10 × 10 mm (E = 3 500 MPa, ν = 0,35), encastrée à une extrémité :

Cas	Théorie	Calcul (cubes de 2,5 / 1,25 / 0,625 mm)
Traction 1 000 N : allongement F·L / (E·S)	0,286 mm	à moins de 3 %
Flexion 10 N : flèche F·L³ / (3·E·I)	1,143 mm	99,5 % / 99,7 % / 99,8 %
Contrainte à l’encastrement M·c / I	6 MPa	4,4 / 5,1 / 5,9 MPa (au centre des cubes)

tests/unit/sim-study.test.ts : même poutre par l’étude complète (3 000 cubes, report sur le maillage) : flèche à ± 15 % de la théorie. tests/e2e/simulation.spec.ts : dans l’application, poutre en PLA chargée de 1 kg sur le dessus : 0,497 mm affichés pour 0,49 mm attendus (W·L³ / (8·E·I)) ; verdict « La pièce tient », puis « Risque de casser » à 100 kg.

Durée de l’étude complète (découpe, calcul, report sur le maillage ; machine de développement), avant → après le multigrille :

Pièce	Rapide (~3 000 cubes)	Normale (~8 000)	Fine (~20 000)
Poutre 100 × 10 × 10	0,7 → 0,5 s	1,8 → 1,1 s	12,7 → 1,9 s
Plaque 120 × 60 × 3	9,7 → 1,5 s	8,5 → 1,5 s	42 → 4,2 s
Bloc 60 × 40 × 30	0,5 → 0,8 s	2,3 → 0,5 s	8,4 → 1,9 s

Une plaque mince demandait plus de 1 400 itérations ; elle en demande moins de 70. Un bloc de 72 000 cubes se calcule en environ 4 s.

Alléger la pièce (optimisation topologique)

Section « Alléger la pièce » du panneau de droite (pièce seule, pas l’assemblage) : avec les mêmes faces fixées, la même charge et la même précision, le calcul cherche où la matière travaille vraiment et ne garde que la part choisie (10 à 90 %, 40 % par défaut) : la pièce la plus raide possible avec moins de matière.

1. Préparer l’étude comme pour « Calculer » (faces fixées, charge, précision). Facultatif : Faces à garder (en vert) : le bord d’un perçage, une face d’appui… restent pleins. Elles sont enregistrées dans le projet avec l’étude, sans périmer le calcul de déformation.
2. Choisir la matière gardée et, si besoin, une forme symétrique (gauche-droite, avant-arrière ou haut-bas : la forme se reflète par le plan médian de la pièce, même si la charge n’est pas symétrique), puis Alléger la pièce : une barre montre l’avancement (« Annuler » l’arrête). Environ 10 s en précision Rapide, 20 s en Normale, une minute en Fine.
3. La forme obtenue s’affiche en orange devant la pièce d’origine (transparente). Le panneau indique la matière gardée et la raideur gardée (souplesse de la pièce pleine / souplesse de la forme : 37 % de la raideur avec 40 % de la matière pour une console, par exemple).
4. Seuil : la forme garde les cubes « remplis » à au moins ce seuil (50 % par défaut) ; plus haut, seule la matière la plus utile reste. La forme se recalcule aussitôt.
5. Exporter en STL (pour imprimer la forme telle quelle) ou Nouvelle pièce : pour une pièce plate, une esquisse (le contour de la forme, en segments) extrudée de l’épaisseur de la plaque, à la place de la pièce d’origine : une vraie pièce, modifiable (congés, perçages…) et découpable au laser ; sinon la forme rejoint le projet par la fenêtre d’import STL, comme pièce figée. « Revenir à la pièce » referme la forme.

La forme est indicative : en petits cubes lissés, elle sert surtout à comprendre où passer la matière (nervures, trous, bras en diagonale) avant de redessiner une pièce propre. La forme et la part gardée ne sont pas enregistrées dans le projet (seules les faces à garder le sont) : comme le résultat de la simulation, la forme se recalcule. Si les réglages ou la pièce changent, elle est signalée comme périmée.

Pièce plate (épaisseur au plus 35 % de sa dimension moyenne) : la forme est la même dans toute l’épaisseur et les trous la traversent, comme pour une découpe laser. Sans cela, le calcul amincirait la plaque par l’intérieur, ce qui ne se fabrique pas.

Méthode

src/sim/topology.ts, dans le worker de simulation :

• SIMP (Bendsøe et Sigmund) sur la grille de cubes de l’étude : chaque cube de la pièce reçoit une densité ρ ∈ [0, 1] et la raideur E · (Emin + (1 − Emin) ρ³), Emin = 10⁻³. La pénalisation (exposant 3) rend les densités moyennes peu rentables : le résultat tend vers du plein ou du vide.
• On minimise la souplesse (travail de la charge) à volume donné. À chaque itération : calcul de la déformation (solveur multigrille du calcul de déformation, raideur par cube, en repartant de la solution précédente, précision 3 · 10⁻³ : même résultat qu’à 10⁻⁴, 30 % plus vite), sensibilité = énergie de chaque cube, filtre de densité (rayon 1,5 cube : ni damier ni détails plus fins que la grille), mise à jour par critère d’optimalité (pas limité à 0,2, multiplicateur du volume par dichotomie). Arrêt quand aucune densité ne bouge de plus de 1 %, ou que la souplesse gagne moins de 0,2 % en 5 itérations (60 au plus).
• Les cubes qui touchent une face fixée, chargée ou à garder restent pleins : la pièce garde ses appuis, l’endroit où l’on appuie et ce que l’élève a choisi. S’ils font déjà la part demandée (une grande face d’une plaque, par exemple), un avertissement le dit. Sur une pièce en 3D, une grande face fixée ou chargée reste comme un mur qui cache l’intérieur : le panneau conseille de choisir de petites faces (bord d’un trou, plot).
• Pièce plate : une variable par colonne de cubes dans l’épaisseur (sensibilités et volume additionnés sur la colonne, filtre dans le plan). Symétrie : un cube et son reflet partagent leur variable (le filtre voit les voisins de l’autre côté du plan comme des reflets).
• Forme (topologySurface) : cubes au-dessus du seuil ; les contacts par une arête ou un coin sont comblés par un cube voisin, seuls les morceaux reliés par des faces et tenus par une face fixée sont gardés ; surface des cubes (chaque arête partagée par deux triangles exactement) lissée par la méthode de Taubin (lissage sans rétrécissement).
• Contour d’une pièce plate (src/sim/topology-outline.ts) : courbes de niveau (« marching squares ») des densités par colonne, au seuil, en respectant les cubes gardés et écartés de la forme 3D (le contour suit les densités : biais lisses plutôt que marches) ; simplification de Douglas-Peucker (0,2 cube) ; trous et îlots de moins de 1,5 cube² ignorés.

Validation

tests/unit/topology.test.ts, console 60 × 6 × 30 mm encastrée, chargée au bout : volume visé respecté (40 % ± 3), souplesse décroissante, matière sur les fibres haute et basse près de l’encastrement (là où la flexion tire et pousse), densités presque toutes tranchées, forme fermée d’un seul tenant ; environ 9 s pour 3 200 cubes.

Durées mesurées (part gardée 40 %, machine de développement) : plaque 80 × 10 × 40 mm, ~7 000 cubes (Normale) : 22 s, 57 itérations, 39 % de la raideur ; ~23 000 cubes (Fine) : 82 s avant le réglage de précision ; bloc 60 × 40 × 30 mm en 3D, ~7 500 cubes : 20 s, 42 itérations, 34 % de la raideur. Le maillage de la forme (seuil) prend moins de 50 ms. tests/e2e/topology.spec.ts : dans l’application : plaque 80 × 10 × 40 mm tenue par un bout et chargée dessus, allègement, seuil, export STL, résultat périmé quand on change la part gardée, nouvelle pièce d’un seul solide.

Suite possible

• Optimisation topologique : zones à laisser vides choisies par l’élève, contrainte de fabrication (impression sans support) ; forme lissée par « marching cubes » plutôt que par cubes lissés.
• mesurer sur un ordinateur d’école ; si besoin, réduire encore le coût d’une itération (produit matrice-vecteur par nœud plutôt que par cube).